Explorando La ponderado exponencialmente en movimiento volatilidad media es la medida más común de riesgo, pero viene en varios sabores. En un artículo anterior, mostramos cómo calcular la volatilidad histórica sencilla. (Para leer este artículo, consulte Uso de volatilidad para medir el riesgo futuro.) Se utilizó datos reales Googles precio de las acciones con el fin de calcular la volatilidad diaria en relación a los 30 días de datos de saldos. En este artículo, vamos a mejorar en la volatilidad simple y discutir el promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA). Vs. histórica La volatilidad implícita En primer lugar, permite poner esta métrica en un poco de perspectiva. Existen dos grandes enfoques: histórico e implícitas (o implícitos) de volatilidad. El enfoque histórico asume que el pasado es prólogo medimos la historia con la esperanza de que es predictivo. La volatilidad implícita, por el contrario, ignora la historia se resuelve por la volatilidad implícita en los precios de mercado. Se espera que el mercado sabe mejor y que el precio de mercado contiene, aunque implícitamente, una estimación de consenso de la volatilidad. (Para leer relacionados, consulte los usos y límites de volatilidad.) Si nos centramos únicamente en los tres enfoques históricos (arriba a la izquierda), tienen dos pasos en común: Calcular la serie de declaraciones periódicas Aplicar un sistema de ponderación En primer lugar, calcular el retorno periódico. Eso es por lo general una serie de retornos diarios en cada declaración se expresa en términos continuamente compuestas. Para cada día, se toma el logaritmo natural de la relación de precios de las acciones (es decir, el precio actual dividido por el precio de ayer, y así sucesivamente). Esto produce una serie de retornos diarios, desde u i de u i-m. dependiendo del número de días (días m) estamos midiendo. Eso nos lleva a la segunda etapa: Aquí es donde los tres enfoques diferentes. En el artículo anterior (Uso de Volatilidad Para medir el riesgo futuro), puso de manifiesto que, en un par de simplificaciones aceptables, la varianza simple es el promedio de los rendimientos al cuadrado: Observe que esto resume cada una de las declaraciones periódicas, a continuación, divide el total por el número de días u observaciones (m). Por lo tanto, es realmente sólo un promedio de los cuadrados de las declaraciones periódicas. Dicho de otra manera, cada retorno al cuadrado se le da un peso igual. Así que si alfa (a) es un factor de ponderación (en concreto, un 1 / m), a continuación, una variación sencilla es como la siguiente: El EWMA Mejora de varianza simple La debilidad de este enfoque es que todas las devoluciones ganan el mismo peso. Ayer (muy reciente) de retorno no tiene más influencia en la variación de la última declaración de meses. Este problema se resuelve mediante el uso de la media ponderada exponencialmente en movimiento (EWMA), en la que los rendimientos más recientes tienen mayor peso en la varianza. El promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) introduce lambda. que se llama el parámetro de suavizado. Lambda debe ser menor que uno. Bajo esa condición, en lugar de pesos iguales, cada retorno al cuadrado es ponderado por un coeficiente multiplicador de la siguiente manera: Por ejemplo, RiskMetrics TM, una empresa de gestión del riesgo financiero, tiende a utilizar una lambda de 0,94 o 94. En este caso, la primera ( más reciente) al cuadrado retorno periódico se pondera por (1-0,94) (. 94) 0 6. el siguiente volver al cuadrado es simplemente un lambda-múltiplo del peso antes en este caso 6 multiplicado por 94 5.64. Y la tercera es igual peso días anteriores (1-0.94) (0,94) 2 5,30. Eso es el significado de exponencial de EWMA: cada peso es un multiplicador constante (es decir lambda, que debe ser menor que uno) del peso día anterior. Esto asegura una variación que se pondera o sesgada hacia los datos más recientes. (Para obtener más información, echa un vistazo a la hoja de cálculo Excel para Googles volatilidad.) La diferencia entre la volatilidad y simplemente EWMA para Google se muestra a continuación. volatilidad simple pesa efectivamente todos y cada declaración periódica por 0.196 como se muestra en la Columna O (que tenía dos años de datos diarios de precios de acciones. Eso es 509 retornos diarios y 1/509 0,196). Sin embargo, observe que la columna P asigna un peso de 6, a continuación, 5,64, a continuación, 5.3 y así sucesivamente. Esa es la única diferencia entre la varianza simple y EWMA. Recuerde: Después sumamos toda la serie (en la columna Q) tenemos la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. Si queremos que la volatilidad, tenemos que recordar tomar la raíz cuadrada de la varianza que. ¿Cuál es la diferencia en la volatilidad diaria entre la varianza y EWMA en el caso de Googles Su significativa: La varianza simple nos dio una volatilidad diaria de 2,4 pero el EWMA dio una volatilidad diaria de sólo el 1,4 (véase la hoja de cálculo para más detalles). Al parecer, la volatilidad de Googles se estableció más recientemente, por lo tanto, una variación simple podría ser artificialmente alta. Varianza del día de hoy es una función de la varianza pior Días Youll aviso que necesitamos para calcular una larga serie de pesos que disminuye exponencialmente. No vamos a hacer los cálculos aquí, pero una de las mejores características de la EWMA es que toda la serie reduce convenientemente a una fórmula recursiva: recursivo significa que las referencias de la varianza de hoy (es decir, es una función de la varianza días antes). Usted puede encontrar esta fórmula en la hoja de cálculo también, y se produce exactamente el mismo resultado que el cálculo longhand Dice: varianza de hoy (bajo EWMA) es igual a la varianza de ayer (ponderado por lambda) más la rentabilidad de ayer al cuadrado (ponderado por One Lambda menos). Nótese cómo estamos simplemente añadiendo dos términos juntos: ayeres varianza ponderada y ayer ponderados, al cuadrado de retorno. Aun así, lambda es nuestro parámetro de suavizado. Un lambda superior (por ejemplo, como RiskMetrics 94) indica descomposición más lenta en la serie - en términos relativos, vamos a tener más puntos de datos en la serie y que vamos a caer más lentamente. Por otro lado, si reducimos el lambda, indicamos decaimiento superior: los pesos se caen más rápidamente y, como resultado directo de la rápida desintegración, se utilizan menos puntos de datos. (En la hoja de cálculo, lambda es una entrada, por lo que puede experimentar con su sensibilidad). Resumen La volatilidad es la desviación estándar instantáneo de una acción y la métrica de riesgo más común. También es la raíz cuadrada de la varianza. Podemos medir la variación histórica o implícita (volatilidad implícita). Cuando se mide históricamente, el método más fácil es la varianza simple. Pero la debilidad con varianza simple es todas las devoluciones reciben el mismo peso. Así que nos enfrentamos a un clásico disyuntiva: siempre queremos más datos, pero cuantos más datos tenemos más nuestro cálculo se diluye por los datos distantes (menos relevantes). El promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) mejora de varianza simple mediante la asignación de pesos a las declaraciones periódicas. Al hacer esto, podemos utilizar tanto una muestra de gran tamaño, sino también dar un mayor peso a los rendimientos más recientes. (Para ver un tutorial película sobre este tema, visite la tortuga biónica.) EWMA 101 El enfoque EWMA tiene una característica atractiva: se requiere de datos relativamente pequeña almacenados. Para actualizar nuestra estimación en cualquier momento, sólo tenemos una estimación previa de la tasa de variación y el valor de observación más reciente. Un objetivo secundario de EWMA es rastrear los cambios en la volatilidad. Para valores pequeños, observaciones recientes afectan a la estimación con prontitud. Para valores más cercanos a uno, los cambios en las estimaciones basadas lentamente sobre los cambios recientes en los rendimientos de la variable subyacente. La base de datos RiskMetrics (elaborado por JP Morgan y hecho público disponible) utiliza la EWMA con la actualización de la volatilidad diaria. IMPORTANTE: La fórmula EWMA no asume un nivel de variación media a largo plazo. Por lo tanto, el concepto de volatilidad reversión a la media no es capturado por el EWMA. Los modelos ARCH / GARCH son más adecuados para este propósito. Lambda Un objetivo secundario de EWMA es rastrear los cambios en la volatilidad, por lo que para valores pequeños, la observación reciente afecta a la estimación de tiempo, y para los valores más cerca de uno, la estimación de los cambios lentamente a los cambios recientes en los rendimientos de la variable subyacente. La base de datos RiskMetrics (elaborado por JP Morgan) y hecho público disponible en 1994, utiliza el modelo EWMA con la actualización de la estimación de la volatilidad diaria. La compañía encontró que a través de una serie de variables de mercado, este valor de da el pronóstico de la varianza que más se acerquen a la tasa de varianza realizada. Las tasas de varianza realizada en un día determinado se calculó como la media ponderada equitativamente de los 25 días posteriores. Del mismo modo, para calcular el valor óptimo de lambda para nuestro conjunto de datos, tenemos que calcular la volatilidad observada en cada punto. Hay varios métodos, por lo que elegir uno. A continuación, se calcula la suma de errores cuadrados (SSE) entre la estimación EWMA y la volatilidad observada. Por último, minimizar el SSE variando el valor lambda. Suena simple, lo es. El mayor desafío es ponerse de acuerdo sobre un algoritmo para calcular la volatilidad observada. Por ejemplo, la gente de RiskMetrics eligieron la posterior de 25 días para calcular la tasa varianza realizada. En su caso, puede optar por un algoritmo que utiliza Volumen diario, HI / LO y / o los precios de apertura y cierre. FAQ Q 1: ¿Podemos utilizar EWMA para estimar (o previstos) la volatilidad más de un paso por delante La representación volatilidad EWMA no asume una volatilidad media a largo plazo, y por lo tanto, para cualquier horizonte de proyección más allá de un solo paso, la EWMA devuelve una valor constante: La media móvil ponderado exponencialmente Hunter, J. Stuart (1986, ASQC) Princeton, NJ Revista de Calidad Tecnología Vol. 18 No. 4 QICID:. 5536 de octubre de de 1986 pp 203-210 Lista 10,00 5,00 miembros por un tiempo limitado, ACCESO A ESTE CONTENIDO ES GRATIS Tendrá que ser firmado Nuevo en ASQ Registro aquí.. Resumen del artículo El Shewhart y el gráfico de control CUSUM técnicas han encontrado una amplia aplicación en las industrias manufactureras. Sin embargo, la calidad de la pieza también se ha mejorado en gran medida por las mediciones individuales tema rápidos y precisos y por las mejoras en el control automático de la máquina dinámica. Una consecuencia es una creciente similitud en los problemas de control que se enfrenta el ingeniero de control de calidad de las piezas y su compatriota en las industrias de proceso continuo. El propósito de este trabajo es EXPOSIT una técnica gráfica de control que pueden ser de valor para la fabricación y los ingenieros de control de calidad continuo proceso: el movimiento (EWMA) gráfico de control de manera exponencial media ponderada. El EWMA tiene su origen en los primeros trabajos de econometría, y aunque su uso en el control de calidad ha sido reconocida, sigue siendo una herramienta muy desatendido. El gráfico de EWMA es fácil de trazar, fácil de interpretar, y sus límites de control son fáciles de obtener. Además, la EWMA conduce naturalmente a una ecuación empírica control dinámico. Palabras clave Shewhart control de gráfico, control de procesos, Mover gráfico de promedio, Predicción, acumulativa gráfico de control de suma (CUSUM), Control de plantilla chartsEWMA Lo que es: Un EWMA (ponderado exponencialmente media móvil) Chart es un gráfico de control para datos variables (datos que es cuantitativa y continua en la medición, como una dimensión o tiempo medido). Las parcelas tabla móvil ponderado valores promedio, un factor de ponderación es elegido por el usuario para determinar la cantidad de puntos de datos de más edad afectan el valor de la media en comparación con las más recientes. Debido a que el gráfico EWMA utiliza la información de todas las muestras, detecta cambios en el proceso mucho más pequeñas que un gráfico de control normal haría. Al igual que con otros gráficos de control, gráficos EWMA se utilizan para controlar los procesos en el tiempo. ¿Por qué usarlo: Se aplica factores de ponderación que disminuyen exponencialmente. La ponderación para cada punto de datos más antiguos disminuye exponencialmente, dando mucha más importancia a las observaciones más recientes, mientras que todavía no descartar por completo las observaciones de más edad. El grado de disminución de pesaje se expresa como un factor constante de alisamiento, un número entre 0 y 1. puede ser expresada como un porcentaje, por lo que un factor de suavizado de 10 es equivalente a 0,1. Alternativamente, puede expresarse en términos de períodos de tiempo n, donde. Por ejemplo, N19 es equivalente a 0,1. La observación en un período de tiempo t se designa Yt, y el valor de la EMA en cualquier período de tiempo t se designa St. S1 está definido. S2 puede inicializarse en un número de maneras diferentes, lo más comúnmente mediante el establecimiento de S2 a Y1, aunque existen otras técnicas, como la fijación de S2 a un promedio de los primeros 4 o 5 observaciones. La importancia del efecto inicializaciones S2 en la resultante media móvil depende de los valores más pequeños hacen que la elección de S2 relativamente más importante que los valores más grandes, ya que un mayor descuentos observaciones de más edad más rápidos. La ventaja de los gráficos EWMA es que cada punto representado incluye varias observaciones, por lo que puede utilizar el teorema del límite central que decir que el promedio de los puntos (o el promedio móvil en este caso) se distribuyen normalmente y los límites de control están claramente definidos. ¿Dónde se utiliza: Los gráficos x ejes son del tiempo basada, por lo que los gráficos muestran una historia del proceso. Por esta razón, debe tener datos que se ordenado por tiempo, es decir, entraron en la secuencia a partir del cual se generó. Si este no es el caso, entonces no se pueden detectar tendencias o cambios en el proceso, pero en lugar de atribuirse a la variación aleatoria (causa común). Cuando se usa: EWMA (o exponencial media móvil ponderada) de las listas se utilizan generalmente para detectar pequeños cambios en la media del proceso. Se detectarán los cambios de 0,5 sigma a 2 sigma mucho más rápido que los gráficos Shewhart con el mismo tamaño de la muestra. Son, sin embargo, más lenta en la detección de grandes cambios en el proceso significan. Además, las pruebas típicas de ejecución no se pueden utilizar debido a la dependencia inherente de puntos de datos. Gráficas EWMA también pueden ser preferidos cuando los subgrupos son de tamaño n1. En este caso, una tabla alternativa podría ser la carta individual X. en cuyo caso, lo que se necesita para estimar la distribución del proceso con el fin de definir sus límites esperados con los límites de control. Al elegir el valor de lambda se utiliza para la ponderación, se recomienda utilizar valores pequeños (tales como 0,2) para detectar pequeños cambios, y los valores más grandes (entre 0,2 y 0,4) para los cambios de mayor tamaño. Un gráfico EWMA con lambda 1.0 es un gráfico de barras X. gráficos EWMA también se utilizan para suavizar el efecto de ruido conocida, incontrolable en los datos. Muchos procesos de contabilidad y procesos químicos entran en esta clasificación. Por ejemplo, mientras día a día las fluctuaciones en los procesos de contabilidad pueden ser grandes, no son puramente indicativos de la inestabilidad del proceso. La elección de lambda se puede determinar para hacer el gráfico más o menos sensibles a estas fluctuaciones diarias. Cómo se usa: Interpretación de un caso estándar gráfico EWMA (para no vagar Mean) Fíjese siempre en la tabla de rangos primero. Los límites de control en el gráfico EWMA se derivan de la gama media (o de mover la estufa, si n1), por lo que si la tabla de rango está fuera de control, a continuación, los límites de control en el gráfico EWMA no tienen sentido en el gráfico de rango, busque a cabo de puntos de control. Si los hay, entonces las causas especiales deben ser eliminadas. Recuerde que el rango es la estimación de la variación dentro de un subgrupo, a fin de buscar los elementos del proceso que incrementarían la variación entre los datos en un subgrupo. Después de revisar el diagrama de Rango, interpretar los puntos en el gráfico EWMA con relación a los límites de control. Ejecutar pruebas no se aplican nunca a un gráfico EWMA, ya que los puntos trazados son inherentemente dependiente, que contiene puntos comunes. Nunca considere los puntos en el gráfico EWMA con respecto a las especificaciones, ya que las observaciones del proceso varían mucho más que las medias móviles ponderado exponencialmente. Si el proceso de muestra de control con respecto a los límites estadísticos para un período suficiente de tiempo (el tiempo suficiente para ver todas las causas potenciales especiales), entonces podemos analizar su capacidad en relación con los requisitos. Capacidad sólo tiene sentido cuando el proceso es estable, ya que no podemos predecir el resultado de un proceso inestable. Errante Mean Gráfico Busque fuera de los puntos de control. Estos representan un cambio en el curso esperado del proceso, en relación con su comportamiento en el pasado. El gráfico no es muy sensible a los cambios sutiles en un proceso de deriva, ya que acepta un cierto nivel de la deriva como la naturaleza del proceso. Recuerde que los límites de control se basan en un error de predicción exponencialmente suavizada por las observaciones del pasado, por lo que cuanto mayor sea las derivas anteriores, el más insensible la tabla será la de detectar cambios en la cantidad de drift. Exponential Suavizante para la Serie Tiempo predicción por Publicado por Preetam Jinka el 10 jun, el año 2015 Hora 10:49:00 AM detección de anomalía de la serie es un problema complicado con un montón de métodos prácticos. Es fácil de encontrar que se pierde en todos los temas que abarca. Aprender de ellos es sin duda un problema, pero su aplicación es a menudo más complicado. Un elemento clave de la detección de anomalías es la previsión - tomar lo que sabes de una serie de tiempo, ya sea sobre la base de un modelo o de su historia, y la toma de decisiones acerca de los valores que llegan más tarde. Usted sabe cómo hacer esto ya. Imagínese que alguien le preguntó para pronosticar los precios de una determinada población, o la temperatura local en los próximos días. Podría dibujar a cabo su predicción, y lo más probable es que es una muy buena. Su cerebro funciona sorprendentemente bien para este tipo de problemas, y nuestro reto es tratar de conseguir computadoras para hacer lo mismo. Si usted toma un curso de introducción a la serie de tiempo, usted aprenderá cómo predecir mediante el ajuste de un modelo a algunos datos de la muestra, y luego usar el modelo para predecir valores futuros. En la práctica, sobre todo cuando los sistemas de seguimiento, usted encontrará que este enfoque no funciona bien, en todos los sistemas reales rara vez sirve para modelos matemáticos. Hay una alternativa. Usted puede hacer algo mucho más simple con suavizado exponencial. En primer lugar, permite echar un vistazo rápido a qué tipo de series de tiempo podríamos estar trabajando. Suponga que mide la métrica cpu. idle en un sistema y tienen observaciones que se trazan a continuación. En este caso, la serie de tiempo isnt particularmente interesante. Los valores varían de una cantidad razonable, pero en general es bastante estable y la mayoría de los valores oscilan alrededor de 130 más o menos. Desde una perspectiva de análisis de series de tiempo, esto se considera que es bastante estacionario. Si se trató de predecir el siguiente valor, su mejor respuesta sería probablemente alrededor de 130. Su imposible estar exactamente a la derecha con una predicción de este tipo, pero la elección de un valor como 130 parece ser el menos incorrecto. Suavizado de suavizado exponencial se refiere al uso de un promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) para suavizar una serie de tiempo. Si usted tiene algún tiempo la serie x t. se puede definir una nueva serie de tiempo s t que es una versión suavizada de x t. s t x t (1) s t1 Heres una parcela de una serie de tiempo estacionaria, al igual que el ejemplo anterior, junto con un par de versiones suavizadas. Observe cómo la cantidad de suavizado cambia con. el peso de suavizado. Cuanto menor sea el peso, la menor influencia tiene cada punto en la serie suavizada de tiempo. Lee nuestra otra entrada de blog sobre cómo promedios móviles ponderados exponencialmente trabajan para más detalles. Supongamos que tenemos el tiempo de la serie x t, junto con una versión suavizada s t. Youd como para predecir o pronóstico, el siguiente valor para x t. que es x t 1. Esto es más sencillo de lo que piensa Usted sólo puede usar el último valor que ha calculado para la EWMA, s t. Funciona de esta manera porque nuestra serie suavizada de tiempo es la EWMA de nuestra serie original, y debido a la forma en que los promedios (y expectativas) de trabajo, s t resulta ser una muy buena predicción. Predecir el siguiente valor se llama la previsión de un paso por delante. Ésto no método siempre funciona bien. Recuerde, usted hizo una suposición importante para esta serie de tiempo: su estacionaria. ¿Qué pasa cuando se isnt Estacionariedad, la tendencia y la estacionalidad Hay muchas formas de caracterizar una serie de tiempo, pero también se centran en tres sencillos que están estrechamente relacionadas: la estacionalidad, la tendencia y la estacionalidad. Estacionariedad se refiere a la estabilidad de los valores de una serie de tiempo son. Para simplificar, supongamos que solo tenemos en cuenta una serie de tiempo para estar inmóvil si se tiene una media constante. Una serie de tiempo estacionaria no tendrá ningún tipo de aumento o disminución de patrón, y sus puntos de asomar por lo general alrededor del mismo valor, la media. Su causa de esta característica la que un EWMA simple, que calcula la media, por lo que es muy útil para los pronósticos. Tendencia refiere a un movimiento a largo plazo de una serie de tiempo en una dirección particular. Con la tendencia lineal, puntos de series temporales serán aproximadamente seguir una línea. También es posible tener tendencias de orden superior, tales como tendencia cuadrática donde los puntos siguen una parábola. La estacionalidad se refiere a un patrón periódico. Un gran ejemplo de una serie temporal de temporada es la temperatura en un lugar determinado. Una serie de tiempo puede tener varias estaciones con diferentes períodos de la curva de Keeling. que traza la concentración medida de CO 2 en la atmósfera, tiene una tendencia positiva y la estacionalidad. Usted puede notar algo interesante pasando con la serie suavizada con el menor peso. Tiende a la zaga de los datos originales ya que los valores más recientes tienen una influencia menor. Esto es especialmente remarcable en la serie de tiempo estacional. Esto es importante porque usted está usando los valores suavizados para pronosticar, cualquier desviación significativa de los valores suavizados se lanzan fuera de su predicción. Si usted nota que su serie de tiempo no es estacionaria, usted tendrá que encontrar algo más que un simple EWMA para hacer su predicción. suavizado exponencial doble y triple A finales de 1950, Charles Holt reconoció el problema con el modelo EWMA sencillo con series de tiempo con la tendencia. Se modificó el modelo simple de suavizado exponencial para dar cuenta de una tendencia lineal. Esto se conoce como Holts suavizado exponencial. Este modelo es un poco más complicado. Se compone de dos EWMAs: una para los valores suavizados de x t. y otro para su pendiente. También se utilizan los términos del nivel y la tendencia. s t x t (1) (b s t1 t1) b t (s t s t 1) (1) b t1 Observe cómo los valores suavizados son mucho mejores en la siguiente serie de tiempo original con suavizado exponencial doble. Esto significa que usted conseguirá mucho mejores pronósticos. Prever con este modelo, hay que hacer un pequeño ajuste. Debido a que no es otro término para la pendiente, usted tiene que considerar que en el pronóstico. Supongamos que usted está tratando de predecir el valor en pasos m momento en el futuro. La fórmula para el pronóstico del - paso m-por delante, M t m. es F m t s t t m b. Observe cómo su esencia, la fórmula para una línea. ¿Y si su serie de tiempo imposible tener una tendencia lineal, sino más bien una especie de estacionalidad Por eso, usted necesitará otra EWMA. estudiante Holts, Peter Winters, extendió su modelo de maestros mediante la introducción de un plazo adicional para tener en cuenta la estacionalidad. Este modelo, con el nivel, la tendencia y los componentes estacionales, se conoce como Holt-Winters. También se refiere a la suavización exponencial como triple. Observe cómo theres otra variable L. que depende del período de la estacionalidad y tiene que ser conocida de antemano. El m--paso por delante fórmula previsión para este es F t m (s t m b t) g t L m. Resumen de detección de anomalías en tiempo real es realmente un problema de pronóstico ya que no puede saber qué esperar en el presente a menos que utilice el pasado de pronosticar. Los datos de pronóstico de series de tiempo se puede volver muy sofisticada y complicada, pero una gran cantidad de técnicas sencillas y eficientes como una EWMA puede dar mayor parte del beneficio con una pequeña fracción del costo, esfuerzo y complejidad. Las técnicas más complejas pueden ser buenos para casos muy específicos, pero a costa de perder la generalidad y que requiere una selección mucho más ajustes y parámetros, que pueden ser sorprendentemente delicada para hacerlo bien. s t x t g t L (1) (b s t1 t1) b t (s t s t 1) (1) b t t x 1 g t s t (1) g t L
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